Математический маятник

Колебания математического маятника.

Математический маятник – материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити (физическая модель).

Математический маятник

Будем рассматривать движение маятника при условии, что угол отклонения мал, тогда, если измерять угол в радианах, справедливо утверждение: Будем рассматривать движение маятника при условии, что угол отклонения мал, тогда, если измерять угол в радианах.

На тело действуют сила тяжести и сила натяжения нити. Равнодействующая этих сил имеет две составляющие: тангенциальную, меняющую ускорение по величине, и нормальную, меняющую ускорение по направлению (центростремительное ускорение, тело движется по дуге).

Т.к. угол мал, то тангенциальная составляющая равна проекции силы тяжести на касательную к траектории: тангенциальная составляющая равна проекции силы тяжести на касательную к траектории. Угол в радианах равен отношению длины дуги к радиусу (длине нити), а длина дуги приблизительно равна смещению (x ≈ s): длина дуги приблизительно равна смещению.

длина дуги приблизительно равна смещению

длина дуги приблизительно равна смещению

Сравним полученное уравнение с уравнением колебательного движения .

Видно, что циклическая частота при колебаниях математического маятника или циклическая частота при колебаниях математического маятника - циклическая частота при колебаниях математического маятника.

циклическая частота при колебаниях математического маятника

Период колебаний Период колебаний или формула Галилея (формула Галилея).

Формула Галилея формула Галилея

Важнейший вывод: период колебаний математического маятника не зависит от массы тела!

 

Аналогичные вычисления можно проделать с помощью закона сохранения энергии.

Учтем, что потенциальная энергия тела в поле тяготения равна потенциальная энергия тела в поле тяготения равна, а полная механическая энергия равна максимальной потенциальной или кинетической:потенциальная энергия тела в поле тяготения равна

Математический маятник

Запишем закон сохранения энергии и возьмем производную от левой и правой частей уравнения: закон сохранения энергии.

Т.к. производная от постоянной величины равна нулю, то  производная от постоянной величины равна нулю.

Производная суммы равна сумме производных:  Производная суммы равна сумме производных и      .Производная суммы равна сумме производных

 

Следовательно: , а значит .

 

Теги: