О ПЛАВАЮЩИХ ТЕЛАХ

Книга первая

Предположим, что жидкость имеет такую природу, что из ее частиц, расположенных на одинаковом уровне и прилежащих друг к другу, менее сдавленные выталкиваются более сдавленными и что каждая из ее частиц сдавливается жидкостью, находящейся над ней по отвесу, если только жидкость не заключена в каком-нибудь сосуде и не сдавливается еще чем-нибудь другим2.

I

Если поверхность, рассекаемая любой плоскостью, переходящей через одну и ту же точку, всегда дает в сечении окружность круга с центром в той самой точке, через которую проводятся секущие плоскости, то эта поверхность будет шаровой.

Действительно, пусть будет некоторая поверхность, которая при сечении плоскостью, проходящей через точку К (рис. 1), всегда образует окружность круга с центром в этой самой точке К. Если эта поверхность не будет поверхностью шара, то не будут равными все линии, которые идут от центра к поверхности. Пусть А, В, Г, ? будут точки на поверхности, причем линии АК и ВК не будут равны; проведем через КА, КВ плоскость, и пусть она образует в сечении с поверхностью линию ?ABГ; эта линия будет, конечно, круговой с центром в точке К, так как рассматриваемая поверхность предполагалась обладающей таким свойством3. Значит, линии КА, КВ не будут неравными; поэтому необходимо, чтобы эта поверхность была шаровой.

II

Поверхность всякой жидкости, установившейся неподвижно, будет иметь форму шара, центр которого совпадает с центром Земли.

Вообразим некоторую жидкость, которая установилась неподвижно; рассечем ее поверхность через центр Земли плоскостью; пусть центр Земли будет К (рис. 2), а линия сечения поверхности АВГ?. Я утверждаю, что линия АВГ? будет окружностью круга с центром в К. Действительно, если это не так, то прямые, выходящие из К к линии АВГ?, не будут равны друг другу. В таком случае возьмем некоторую прямую, которая была бы больше одних и меньше других из линий, выходящих из К к линии АВГ?, и из центра К опишем круг радиусом, равным этой линии; тогда поверхность этого круга пойдет так, что часть ее расположится вне линии АВГ?, часть же внутри, так как радиус ее будет больше некоторых из линий, выходящих от К к линии АВГ?, и меньше других. Пусть окружность описанного круга будет ZBH; проведем из В в К прямую и построим прямые ZK, KEП, образующие равные углы [АK? и ВКП]4, затем из центра К опишем некоторую дугу ?OП, которая находилась бы на плоскости [чертежа] и в жидкости; тогда расположенные по дуге ?OП частицы жидкости будут находиться на одном уровне и прилегать друг к другу. Те из них, которые находятся на дуге ?O, будут сдавливаться жидкостью, расположенной до уровня ZB, а те, которые находятся на дуге ОП,-жидкостью до уровня BE; следовательно, частицы жидкости, расположенные на дугах ?O и ОП, будут сдавливаться неодинаково; таким образом, менее сдавливаемые будут вытеснены более сдавливаемыми; следовательно, жидкость не останется неподвижной. Мы же предположили, что она установилась так, что остается неподвижной; значит, необходимо, чтобы линия ABГ? была окружностью круга с центром в К. Подобным же образом докажем, что если как-нибудь иначе рассечь поверхность жидкости плоскостью, проходящей через центр Земли, то сечение будет окружностью круга и центр ее будет тот же, что и центр Земли. Теперь ясно, что поверхность установившейся неподвижно жидкости имеет форму шара с тем же центром, что и у Земли, ибо она такова, что при рассечении ее плоскостями, проходящими через одну и ту же точку, в сечении получаются окружности с центрами в той же самой точке, череа которую проходят секущие плоскости.

III

Тела, равнотяжелые с жидкостью4, будучи опущены в эту жидкость, погружаются так, что никакая их часть не выступает над поверхностью жидкости, и не будут двигаться вниз. <...>

IV

Тело, более легкое, чем жидкость, будучи опущено в эту жидкость, не погружается целиком, но некоторая часть его остается над поверхностью жидкости. <...>

V

Тело, более легкое, чем жидкость, будучи опущено в эту жидкость, погружается настолько, чтобы объем жидкости, соответствующий погруженной [части тела], имел вес, равный весу всего тела. <...>

VI

Тела, более легкие, чем жидкость, опущенные в эту жидкость-насильственно, будут выталкиваться вверх с силой, равной тому весу, на который жидкость, имеющая равный объем с телом будет тяжелее этого тела.

Пусть будет некоторое тело А (рис. 3), более легкое, чем жидкость; пусть В будет вес тела А, а ВН5Г - вес жидкости в объеме, равном А. Требуется доказать, что насильно погруженное в жидкость тело А будет выталкиваться вверх с силой, равной весу Г.

Возьмем какое-нибудь тело ?, имеющее вес, равный Г; тогда тело, составленное из объединенных вместе обоих тел A, ?, будет легче жидкости [в том же объеме], так как вес тела, составленного из обоих, будет В + Г, вес же жидкости в равном объеме будет больше, чем В + Г, так как В + Г представляет вес [жидкости] в объеме, равном А. Теперь тело, составленное из обоих тел A, ?, будучи опущено в жидкость, погрузится настолько, чтобы жидкость в объеме, равном погруженной части, имела вес, равный весу всего тела, как это доказано выше. Пусть дуга ABГ? представляет поверхность некоторой жидкости. Теперь, поскольку количество жидкости в объеме, равном телу А, имеет вес, одинаковый с весами обоих тел A, ?, то ясно, что погруженная часть этого тела будет иметь объем, равный А, остальная же часть его, именно ?, будет находиться над поверхностью жидкости; действительно, если бы это тело погрузилось иначе, то получилось бы [противоречие] с тем, что было доказано [раньше]. Теперь ясно, что [с какой силой] тело А выталкивается кверху, [с такой же силой оно будет придавливаться] книзу находящимся над ним телом ?, поскольку ни то, ни другое не пересиливают друг друга. Но ? давит вниз с тяжестью, равной весу Г, так как было предположено, что вес тела ? равен Г; теперь то, что требовалось доказать, будет очевидно.

VII

Тела, более тяжелые, чем жидкость, опущенные в эту жидкость, будут погружаться, пока не дойдут до самого низа, и в жидкости станут6 легче на величину веса жидкости в объеме, равном объему погруженного тела7.

Что тело будет погружаться, пока не дойдет до самого дна, очевидно, так как находящиеся под ним частицы жидкости будут испытывать большее давление, чем другие, расположенные на одном с ним уровне, так как тело предполагается более тяжелым, чем жидкость; а что оно, как сказано, [в жидкости] станет легче, это следует доказать.

Пусть будет некоторое тело А (рис. 4), более тяжелое, чем жидкость; пусть вес тела А будет В + Г, вес же жидкости в объеме, равном А, будет В. Требуется доказать, что тело А, находясь в жидкости, будет иметь вес, равный Г.

Возьмем некоторое тело ?, [более легкое, чем жидкость в его объеме; пусть] вес тела ? будет равен весу В, вес же жидкости, имеющий одинаковый с ? объем, пусть будет равен весу В + + Г. Если мы сложим оба наши тела А и ? в одно, то составленное тело будет равнотяжелым с жидкостью; действительно, вес обоих этих тел равен вместе взятым весам В + Г и В, вес же жидкости, имеющей объем, равный обоим телам, равен тем же самым весам. Значит, если эти тела опустить в жидкость, то они будут в равновесии с жидкостью и не будут двигаться ни вверх, ни вниз; вследствие этого тело А пойдет вниз с такой же силой, с какой тело ? будет увлекаться вверх; тело же ?, поскольку оно легче жидкости, будет двигаться вверх с силой, равной весу Г, так как доказано, что более легкие, чем жидкость, тела, будучи насильно погружены в эту жидкость, движутся вверх с силой, равной тому весу, на который жидкость, имеющая объем, равный этому телу, будет тяжелее последнего. Но жидкость, имеющая равный объем с телом ?, будет тяжелее тела ? на вес Г; теперь ясно, что тело А будет двигаться вниз [с силой, равной весу Г].

Предположим, что все тела, движущиеся8 в жидкости вверх, будут подыматься по отвесной линии, проведенной через их центр тяжести.

VIII

Если какое-нибудь тело, более легкое, чем жидкость, и имеющее форму сегмента шара, будет опущено в жидкость таким образом, чтобы основание сегмента не касалось жидкости, то это тело установится в прямом положении, так что ось сегмента будет расположена по отвесу; и если кто-нибудь принудит тело стать так, чтобы основание сегмента касалось жидкости, то оно не останется в наклонном положении, но, будучи отпущено, снова станет прямо. <...>

IX

И так же если какое-нибудь тело, более легкое, чем жидкость, будет опущено в эту жидкость так, чтобы все его основание было целиком в жидкости, то тело установится в прямом положении так, что его ось расположится по отвесной линии. <...>

*В кн.: Архимед. Соч. M, 1962, с. 328-334. 
2Это модель жидкости, предлагаемая Архимедом. 
33Именно, что все сечения ее плоскостями, проходящими через точку К, являются круговыми. (Прим. пер.) 
4Здесь и далее в квадратных скобках стоят добавления переводчика. 
5Здесь Архимед неявно вводит понятие об удельном весе как отношении; веса к объему тела. 
6 Характерное выражение «станут легче» .., показывающее, что греки вес одного и того же тела не считали постоянным, они «вес» понимали как «давление». (Прим. пер.) 
7Это и есть знаменитый закон Архимеда в его собственной формулировке. 
8Надо помнить, что в греческой механике идея движения была неразрывно связана с идеей силы; поэтому ближе к смыслу было бы сказать «выталкиваемые в жидкости вверх». (Прим. пер )

Теги: